Lo cual es mejor, según el matemático italiano Alessio Figalli – MundoDaily

Las palabras «ideales» y «optimizar» derivan del latín «optimus» o «mejor», como en «aprovechar lo mejor de las cosas». Alessio Figalli, matemático de la Universidad Eth Zurich, estudia el transporte ideal: la asignación más eficiente de los puntos de partida a los puntos finales. El alcance de la investigación es amplio, incluidas nubes, cristales, burbujas y chatbots.

El Dr. Figalli, quien recibió la medalla de Campos en 2018, le gustan las matemáticas motivadas por problemas concretos que se encuentran en la naturaleza. También le gusta el «sentimiento de eternidad» de la disciplina, dijo en una entrevista reciente. «Es algo que estará aquí para siempre». (Nada es para siempre, admitió, pero las matemáticas estarán presentes por «tiempo suficiente») «Me gusta el hecho de que si demuestras un teorema, lo demuestras», dijo. “No hay ambigüedad, es verdadero o falso. En cien años, puede confiar en él, pase lo que pase. «

El estudio de transporte ideal fue introducido hace casi 250 años por Gaspard Monge, un matemático y político francés que estaba motivado por problemas en ingeniería militar. Sus ideas encontraron aplicaciones más amplias para resolver problemas logísticos durante la era napoleónica, por ejemplo, identificar la forma más eficiente de construir fortificaciones para minimizar los costos del transporte material en toda Europa.

En 1975, el matemático ruso Leonid Kantorovich compartió el Nobel en ciencias económicas Refinar una teoría matemática rigurosa para la asignación ideal de recursos. «Tenía un ejemplo con panaderías y cafeterías», dijo Figalli. El objetivo de la optimización en este caso era garantizar que diariamente todas las panaderías entregaran todos sus cruasanes, y todas las cafeterías reciben todos los cruasanes deseados.

«Se llama un problema global de buena optimización, en el sentido de que no hay competencia entre las panaderías, no hay competencia entre las cafeterías», dijo. “No es como optimizar la utilidad de un jugador. Está optimizando la utilidad global de la población. Y es por eso que es tan complejo: porque si una panadería o cafetería hace algo diferente, influirá en todos los demás. «

La próxima conversación con el Dr. Figalli, celebrada en un evento en la ciudad de Nueva York, organizada por el Instituto de Ciencias Matemáticas de Simons Laufer y en entrevistas antes y después, fue condensado y editado por Clarity.

¿Cómo terminarías la frase «Las matemáticas son …»? ¿Qué son las matemáticas?

Para mí, las matemáticas son un proceso creativo y un idioma para describir la naturaleza. La razón por la cual las matemáticas son la forma en que es porque los humanos se dieron cuenta de que era la forma correcta de modelar la tierra y lo que estaban observando. Lo fascinante es que funciona muy bien.

¿La naturaleza siempre está buscando optimizar?

La naturaleza es naturalmente un optimizador. Tiene un principio de energía mínima en su propia naturaleza. Entonces, por supuesto, es más complejo cuando otras variables ingresan a la ecuación. Depende de lo que estés estudiando.

Cuando aplicaba el transporte ideal al clima, estaba tratando de entender el movimiento de las nubes. Era un modelo simplificado, donde se descuidaron algunas variables físicas que pueden influir en el movimiento de la nube. Por ejemplo, puede ignorar la fricción o el viento.

El movimiento de las partículas de agua de la nube sigue una ruta de transporte ideal. Y aquí está llevando miles de millones de puntos, miles de millones de partículas de agua, a miles de millones de puntos, por lo que es un problema mucho mayor que 10 panaderías a 50 cafeterías. Los números crecen enormemente. Por eso necesitas matemáticas para estudiarlo.

¿Y el transporte ideal capturó su interés?

Estaba muy entusiasmado con las aplicaciones y el hecho de que las matemáticas son muy hermosas y provenían de problemas muy concretos.

Existe un intercambio constante entre lo que las matemáticas pueden hacer y lo que la gente exige en el mundo real. Como matemáticos, podemos fantasear. Nos gusta aumentar las dimensiones: trabajamos en el espacio dimensional infinito, que la gente siempre piensa que es un poco loco. Pero eso es lo que nos permite usar teléfonos móviles y Google ahora y toda la tecnología moderna que tenemos. Todo no existiría si los matemáticos no hubieran estado lo suficientemente locos como para salir de los límites estándar de la mente, donde vivimos solo en tres dimensiones. La realidad es mucho más que eso.

En la sociedad, el riesgo es cuando las personas solo ven las matemáticas como importantes cuando ven la conexión con las aplicaciones. Pero es importante más allá de eso: el pensamiento, los desarrollos de una nueva teoría que ha surgido a través de las matemáticas con el tiempo que condujo a grandes cambios en la sociedad. Todo es matemática.

Y a menudo las matemáticas eran lo primero. No es que se despierte con una pregunta aplicada y encuentre la respuesta. En general, la respuesta ya estaba allí, pero estaba allí porque la gente tenía tiempo y libertad para pensar muy bien. Al revés puede funcionar, pero de una manera más limitada, por el problema. Los grandes cambios generalmente suceden debido al pensamiento libre.

La optimización tiene sus límites. La creatividad no se puede optimizar realmente.

Sí, la creatividad es todo lo contrario. Supongamos que está haciendo una buena investigación en un área; Su esquema de optimización te haría quedarte allí. Pero es mejor correr riesgos. El fracaso y la frustración son fundamentales. Grandes avances, grandes cambios, siempre vienen porque, en algún momento, se está sacando de su zona de confort, y eso nunca será un proceso de optimización. La optimización de todo resulta en falta de oportunidades a veces. Creo que es importante valorar realmente y tener cuidado con lo que optimiza.

¿En qué estás trabajando hoy?

Un desafío es utilizar el transporte ideal en el aprendizaje automático.

Desde el punto de vista teórico, el aprendizaje automático es solo un problema de optimización en el que tiene un sistema y desea optimizar algunos parámetros o características para que la máquina realice una serie de tareas.

Para clasificar las imágenes, el transporte ideal mide cómo dos imágenes están comparando recursos similares como colores o texturas y colocando estas características en la alineación, transportándolas, entre las dos imágenes. Esta técnica ayuda a mejorar la precisión al hacer que los modelos sean más robustos para cambiar o distorsión.

Estos son fenómenos de muy alta dimensión. Está tratando de comprender objetos que tienen muchas características, muchos parámetros y todas las características corresponden a una dimensión. Entonces, si tiene 50 características, estará en un espacio 50 dimensional.

Cuanto mayor sea la dimensión que vive el objeto, más complejo es el problema de transporte ideal: requiere mucho tiempo, muchos datos para resolver el problema y nunca puede hacerlo. Esto se llama la maldición de la dimensionalidad. Recientemente, las personas han estado tratando de buscar formas de prevenir la maldición de la dimensionalidad. Una idea es desarrollar un nuevo tipo de transporte ideal.

¿Cuál es la esencia de esto?

Al colapsar algunas características, reduje mi transporte ideal a un espacio inferior dimensional. Digamos que tres dimensiones son demasiado grandes para mí y quiero que sea un problema unidimensional. Tomo algunos puntos en mi espacio de tres dimensiones y los proyecté en una línea. Resuelvo el transporte ideal en la línea, calculé lo que debo hacer y lo repito a muchas, muchas líneas. Luego, usando estos resultados en Dimension One, trato de reconstruir el espacio 3D original para un tipo de collage. No es un proceso obvio.

Parece que la sombra de un objeto de sombra bidimensional y cuadrado proporciona información sobre el cubo tridimensional que arroja la sombra.

Es como sombras. Otro ejemplo son las radiografías, que son imágenes en 2-D de su cuerpo 3D. Pero si hace radiografías en suficientes direcciones, puede ensamblar las imágenes y reconstruir su cuerpo.

¿Conquistaría la maldición de la dimensionalidad con las deficiencias y limitaciones de la IA?

Si utilizamos algunas técnicas de transporte ideales, tal vez esto pueda hacer que algunas de estas sean más robustas, más estables, más confiables, menos sesgadas, más seguros y seguros de aprendizaje automático. Este es el principio de objetivo.

Y en la interacción de las matemáticas puras y aplicadas, ¿aquí está la necesidad práctica de que el mundo real que motiva las nuevas matemáticas?

Exactamente. La ingeniería de aprendizaje automático está muy por delante. Pero no sabemos por qué funciona. Hay pocos teoremas; Comparando lo que puede lograr con lo que podemos probar, hay una gran brecha. Es impresionante, pero matemáticamente sigue siendo muy difícil explicar por qué. Por lo tanto, no podemos confiar lo suficiente. Queremos mejorar en muchas direcciones y queremos que las matemáticas ayuden.