Los «grupos» sustentan las matemáticas modernas. Mira como funcionan – MundoDaily

Averiguar qué subgrupos contiene un grupo es una forma de entender su estructura. Por ejemplo, subgrupos de z₆ son {0}, {0, 2, 4} y {0, 3}: el subgrupo trivial, los múltiplos de 2 y los múltiplos de 3. En el grupo D₆las rotaciones forman un subgrupo, pero las reflexiones no. Esto se debe a que dos reflexiones realizadas en secuencia producen una rotación, no una reflexión, del mismo modo que la suma de dos números impares da como resultado un número par.

Ciertos tipos de subgrupos llamados subgrupos «normales» son especialmente útiles para los matemáticos. En un grupo conmutativo, todos los subgrupos son normales, pero esto no siempre es cierto en términos más generales. Estos subgrupos conservan algunas de las propiedades más útiles de la conmutatividad, sin obligar a todo el grupo a ser conmutativo. Si se puede identificar una lista de subgrupos normales, los grupos se pueden dividir en componentes de la misma manera que los números enteros se pueden dividir en productos de números primos. Los grupos que no tienen subgrupos normales se llaman grupos simples y ya no se pueden descomponer, del mismo modo que los números primos no se pueden factorizar. el grupo z_norte Es simple sólo cuando norte es primo: los múltiplos de 2 y 3, por ejemplo, forman subgrupos normales en z₆.

Sin embargo, los grupos simples no siempre son tan simples. «Es el mayor error en matemáticas», dijo Hart. En 1892, el matemático Otto Hölder propuso que los investigadores reunieran una lista completa de todos los posibles grupos finitos simples. (Los grupos infinitos, como los números enteros, forman su propio campo de estudio).

Resulta que casi todos los grupos finitos simples se parecen z_norte (para valores primos de norte) o pertenecer a una de las otras dos familias. Y hay 26 excepciones, llamadas grupos esporádicos. Arreglarlos y demostrar que no hay otras posibilidades llevó más de un siglo.

El grupo esporádico más grande, acertadamente llamado grupo de monstruos, fue descubierto en 1973. Ha más de 8×10⁵⁴ elementos y representa rotaciones geométricas en un espacio con casi 200.000 dimensiones. «Es una locura que los humanos puedan encontrar esto», dijo Hart.

En la década de 1980, la mayor parte del trabajo que Hölder había solicitado parecía haber sido completado, pero era difícil demostrar que ya no había grupos esporádicos. La clasificación se retrasó aún más cuando, en 1989, la comunidad encontró lagunas en una prueba de 800 páginas de principios de los años 1980. Una nueva prueba finalmente fue publicada en 2004, poniendo fin a la clasificación.

Muchas estructuras de las matemáticas modernas (anillos, campos y espacios vectoriales, por ejemplo) se crean cuando se agrega más estructura a los grupos. En los anillos puedes multiplicar, así como sumar y restar; en los campos también puedes dividir. Pero debajo de todas estas estructuras más complejas se encuentra la misma idea original de grupo, con sus cuatro axiomas. «La riqueza posible dentro de este marco, con estas cuatro reglas, es alucinante», afirmó Hart.